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おぉ…。数学のスマートさを具現化したような良い授業だ。
複素数っていうのは実数のペアなんですよ っていうのはとてもいいですね。高校生ぐらいだと複素平面って一体なんなの？っていうところでつまづいてしまい、学校の先生からはそうゆうもんだと受け入れろって言われることが多い気がします．
感覚で同じ様に扱う事に慣れましたが、言葉として聞くと「目から鱗」で、素晴らしい表現ですね。
こう言う愚直な作業をしっかりやったかどうかが後々の理解の深さに差を生みそうです凄くいい動画でした。本当にありがとうございます。
２５年ほど前に自分が高校生だった時は、複素数平面は数学の教育課程に含まれておらず、どの大学でも複素数平面を扱う問題は出ませんでした。今回の古賀先生の複素数平面の取り掛かりの部分のお話、非常にわかりやすかったです。ありがとうございます！！
！
つまりθ=π/nのcosθ、sinθの値はz^2n=1を解けば求められるのかな？
賢い
実は文系人なので複素数平面に関しては高校では習っていませんが、習う時に導入としてこれを説明されたらその時点でめっちゃ興味持てます。いつ見てもz^n-1=0の解は美しい。
導入の方法で理解度が変わる良い例。
この問題は、雪崩のように自動化した因数分解ができる式のなかでもごく簡単なものですね。
ゆくイロスクールから来ましたわかりやすかったです
同じく！
古賀さん、わかりやすいですよね！
奇遇やんな、俺もやでーー
複素数平面の概念に関する本質をわかりやすく触れたいい授業ですね
大昔の高校生です。当時は複素数平面は高校の課程の中になく，「 x^3 ＝ 1 の複素数解は 1 ，ω，ω^2 」というのが唐突に出てきて，計算すれば確かにそうだけどモヤモヤする，と思っていたところ，「実は複素数平面というのがあって，『 1 ，ω，ω^2 』は正三角形になる」と知ってやっと胸のつかえがとれたことを思い出しました。
質問ですが、複素数やっていないって事は因数分解や展開で２乗３乗が出てきたときの解(中学生で解無しとやっていたモノが複素数や虚数解。因みに１の３乗根も「１±√５i/2」という初見では意味不明な数値が出てきます)ってどうやって処理していたのでしょうか？
@@小林カムイ 「複素数」（今だと数学Ⅱの範囲）は、当時は数学Ｉでやっていました。やっていなかったのは「複素数平面」（去年までは数学Ⅲ、今年から数学C）についてです。
@@satton5360 複素数平面(中学生でy軸としていたグラフを虚数軸にする考え方？)って数１か２でやっていたと思いましたが、違うのでしょうか？当時、コレって何に使うのか？と不思議に思っていましたが、応用すると３乗根や４乗根(因数分解でやると非常に計算が面倒臭い。更に３乗根の公式だと２乗根や３乗根&分数が出て来る覚え難い公式や計算ありましたし、そもそも高校数学に出て来ない公式でした)が計算しやすくなったり、座標計算が楽になるメリットありましたね。因みに数３の方は選択教科で選ばない人が大半でしたが(殆どの人が確率とかやる方が楽だった為。マジで自然対数とか極限・三角関数の微積分やるよりチートだと思う位難易度が違いました。数３選んだら８０人中こちらも入れて選んた人は４人だけというダンチで不人気教科)出てきた覚え全くありませんでした。
数学ガール思い出したな
x^n=1 (n→∞)を複素平面にプロットすると円になるのか…？高2の文系数弱の戯言なので間違ってたらすみません
クソリプになるけど加算無限と非加算無限ってのがあって(以後略
直観的にはその幾何的なイメージで間違ってないですよ。ただ、点と点の間は永遠に埋まらないので線としては繋がらないんです。数直線にすべての有理数をプロットしても無理数があるので線にはならないのと同じです。
@@Mr-oe6hd クソリプだけどこの場合の無限は加算無限じゃないか？
イメージ的には.ただ,正無限角形は円では無いことに注意してください.
複素数まで知っていて複素数平面を導入したいときにどうするか、という話の例ですね。
代数学の基本定理って当たり前に使ってるけど初めて証明できたときは感動しちゃった😥リウヴィルの定理だったりルーシェの定理っていう複素関数論の定理必要なんだよね
高木貞治の「代数学講義」の最初の方に前提知識がほぼいらない簡単な証明があるよ
とても分かりやすいと思いました。ありがとうございます。
分かりやすい❗️原子n乗根も待ってます。
美しい。知らなかったなあ、ありがとうございます
情けないことに、初級をとけただけで自分に感動した……そして Z^n + 1、Z^n - 1 （nは3以上）を因数分解できない…… 当たり前に進んでいるってことは当たり前な解法があるんだろうが、存在することすら知らんかった
初見でやった時複素数平面まだだったからz^4+1から出る解をめっちゃゴリ押して出したw
Zの105乗＝1がどんな形にになっているのか見てみたいですね
qiita内で次行でリンクしました。ありがとうございました。z^8=1「zのn乗=1 解に隠された美しい性質」をWolframAlphaとsympyでやってみたい。ｚの105乗＝1をWolframAlphaで計算しました。私は、(4乗も)証明できません。
Z⁵＝１も因数分解の気合いでいけるな、ちゃんと正五角形になったのも確認できた
Zのn乗=1の解は単位円上にあるということか
試しx^7-1に実数範囲に因数分解にしてcos にも使るべし
1の3乗根の動画内容に繋がる話ですねあと男性でも化粧下地やリップを使うと顔色良く見えるのでよろしければぜひ
てことはz^∞=1を解けば円になるってコト⁉️
z^t＝1を解くと単位円上にt個の点ができるのでtをでかくすれば円のようにはなりますけど指数部分って自然数なので∞は代入できないと思いますね
考え方面白くて好き円になるかもっていう直観はわかるけど複素関数の極限ってどうやって定義されるんだろ？🤔
厳密には円にならないみたいです無限の種類が違うそうです
正無限角形は実は円ではないんです.
円は無数の角を含むが、無数無限の角を含む円は存在しない。。。のですか？無限の種類が違う、次元が違ってくる？… とても興味深いです！
複素平面を利用するなら、全ての方程式は「(z+a+bi)^n=r^n(a、b、rは実数)」にできるんだろうか、理論上？
前置きはいいよ👌
これからは文系も複素数平面やるもんなぁ
正n角形というより，e^(iθ)の回転で説明したほうが良い気がします．
数学IIIの導入,となりますからいきなりここでeも出してしまうと混乱するかも,という意図かもです
数３なのか！和と差の積。解の公式。5乗7乗 気合か！ スーと分かるセンス。正五角形から遣ると面白い。11角形や17角形も良いね。
幾何的に求めにくい解を共役複素数の性質を利用して解くことはできるでしょうか？
結局R^2が複素数の本質だとな.
ゼミっぽい授業もやってほしい
滑らかな、とてもりっぱな授業だと思いました。岩波新書の、遠山先生でしたかの書かれた、上下2冊に分かれた本では、かけ算は回し伸ばしという視点から動的に説明されていました。
zの8乗を4乗に分ける式zの4乗を2乗に分ける式
you wrong six hexagon that is into one hexagon.
答え x=1. x=-1. (虚数は除く)
ん？気合いでいくなら4乗のとこでフェラーリでしょ🙃
z^8=1のかいとして±√i,±√-iは正しいでしょうか虚数に√はとれないんでしょうか
√iという数をa+biの形で書いたものが(√2+√2i)/2となります。
単純に√iという数(記法)が定義されているかは申し訳ありませんが数学素人ですので分かりません。
@@you-cd9xk iの定義がi=√-1 なので√iは二重根号なんじゃないですかね、、、
@@aagttt8259 この場合は、複素数を求めるもんだいで√iなどはa+biの形になっていないので解ではないと言うことができます
初歩であり根本の基本的な疑問を解決できて嬉しいです。ありがとうございます。
この方程式は、もともと、5次方程式に、一般解があるか否かという問題の思考過程で出てくるものだと思うのですが、そのこと(本来、方程式の問題であること)は、授業の中で、明示しなくていいのでしょうか？
複素平面とやらを習わない世代🙋♂️
答え 1
サムネの但し書きに絶望して無事死亡。ちーん。
円分方程式ですね～それはそうと目の下のクマが気になります、お休みとれてますか？
複素数平面というのは数直線の拡張だというお話から始めて欲しい座標って言われると必然性が見えない
5963
4乗とは、６乗とは、８乗とはまで解説が欲しかったなあ。
正の実数aに対して√aは「aの2つの平方根のうち正のもの」と定義されますが、√iとするとこれがiの2つの平方根うちどちらを指すのか分かりません
答え 1と−1
![Masaki Koga [数学解説]](http://yt3.ggpht.com/iS7yH2FXiUzPK9lxif6LZbtrxwlWeUWrpKuQc76MyOq_5YG7C5y9jPoZiw4Od2nmFYjSLRf9PTM=s48-c-k-c0x00ffffff-no-rj)
おぉ…。数学のスマートさを具現化したような良い授業だ。
複素数っていうのは実数のペアなんですよ っていうのはとてもいいですね。高校生ぐらいだと複素平面って一体なんなの？っていうところでつまづいてしまい、学校の先生からはそうゆうもんだと受け入れろって言われることが多い気がします．
感覚で同じ様に扱う事に慣れましたが、言葉として聞くと「目から鱗」で、素晴らしい表現ですね。
こう言う愚直な作業をしっかりやったかどうかが後々の理解の深さに差を生みそうです凄くいい動画でした。
本当にありがとうございます。
２５年ほど前に自分が高校生だった時は、複素数平面は数学の教育課程に含まれておらず、どの大学でも複素数平面を扱う問題は出ませんでした。
今回の古賀先生の複素数平面の取り掛かりの部分のお話、非常にわかりやすかったです。
ありがとうございます！！
！
つまりθ=π/nのcosθ、sinθの値はz^2n=1を解けば求められるのかな？
賢い
実は文系人なので複素数平面に関しては高校では習っていませんが、習う時に導入としてこれを説明されたらその時点でめっちゃ興味持てます。
いつ見てもz^n-1=0の解は美しい。
導入の方法で理解度が変わる良い例。
この問題は、雪崩のように自動化した因数分解ができる式のなかでもごく簡単なものですね。
ゆくイロスクールから来ました
わかりやすかったです
同じく！
古賀さん、わかりやすいですよね！
奇遇やんな、俺もやでーー
複素数平面の概念に関する本質をわかりやすく触れたいい授業ですね
大昔の高校生です。
当時は複素数平面は高校の課程の中になく，「 x^3 ＝ 1 の複素数解は 1 ，ω，ω^2 」というのが唐突に出てきて，
計算すれば確かにそうだけどモヤモヤする，と思っていたところ，
「実は複素数平面というのがあって，『 1 ，ω，ω^2 』は正三角形になる」と知って
やっと胸のつかえがとれたことを思い出しました。
質問ですが、複素数やっていないって事は因数分解や展開で２乗３乗が出てきたときの解(中学生で解無しとやっていたモノが複素数や虚数解。因みに１の３乗根も「１±√５i/2」という初見では意味不明な数値が出てきます)ってどうやって処理していたのでしょうか？
@@小林カムイ 「複素数」（今だと数学Ⅱの範囲）は、当時は数学Ｉでやっていました。やっていなかったのは「複素数平面」（去年までは数学Ⅲ、今年から数学C）についてです。
@@satton5360
複素数平面(中学生でy軸としていたグラフを虚数軸にする考え方？)って数１か２でやっていたと思いましたが、違うのでしょうか？
当時、コレって何に使うのか？と不思議に思っていましたが、応用すると３乗根や４乗根(因数分解でやると非常に計算が面倒臭い。更に３乗根の公式だと２乗根や３乗根&分数が出て来る覚え難い公式や計算ありましたし、そもそも高校数学に出て来ない公式でした)が計算しやすくなったり、座標計算が楽になるメリットありましたね。
因みに数３の方は選択教科で選ばない人が大半でしたが(殆どの人が確率とかやる方が楽だった為。マジで自然対数とか極限・三角関数の微積分やるよりチートだと思う位難易度が違いました。数３選んだら８０人中こちらも入れて選んた人は４人だけというダンチで不人気教科)出てきた覚え全くありませんでした。
数学ガール思い出したな
x^n=1 (n→∞)を複素平面にプロットすると円になるのか…？
高2の文系数弱の戯言なので間違ってたらすみません
クソリプになるけど加算無限と非加算無限ってのがあって(以後略
直観的にはその幾何的なイメージで間違ってないですよ。
ただ、点と点の間は永遠に埋まらないので線としては繋がらないんです。
数直線にすべての有理数をプロットしても無理数があるので線にはならないのと同じです。
@@Mr-oe6hd クソリプだけどこの場合の無限は加算無限じゃないか？
イメージ的には.
ただ,正無限角形は円では無いことに注意してください.
複素数まで知っていて複素数平面を導入したいときにどうするか、という話の例ですね。
代数学の基本定理って当たり前に使ってるけど初めて証明できたときは感動しちゃった😥
リウヴィルの定理だったりルーシェの定理っていう複素関数論の定理必要なんだよね
高木貞治の「代数学講義」の最初の方に前提知識がほぼいらない簡単な証明があるよ
とても分かりやすいと思いました。ありがとうございます。
分かりやすい❗️
原子n乗根も待ってます。
美しい。知らなかったなあ、ありがとうございます
情けないことに、初級をとけただけで自分に感動した……
そして Z^n + 1、Z^n - 1 （nは3以上）を因数分解できない…… 当たり前に進んでいるってことは当たり前な解法があるんだろうが、存在することすら知らんかった
初見でやった時複素数平面まだだったからz^4+1から出る解をめっちゃゴリ押して出したw
Zの105乗＝1がどんな形にになっているのか見てみたいですね
qiita内で次行でリンクしました。ありがとうございました。
z^8=1「zのn乗=1 解に隠された美しい性質」をWolframAlphaとsympyでやってみたい。
ｚの105乗＝1をWolframAlphaで計算しました。私は、(4乗も)証明できません。
Z⁵＝１も因数分解の気合いでいけるな、ちゃんと正五角形になったのも確認できた
Zのn乗=1の解は単位円上にあるということか
試しx^7-1に実数範囲に因数分解にして
cos にも使るべし
1の3乗根の動画内容に繋がる話ですね
あと男性でも化粧下地やリップを使うと顔色良く見えるのでよろしければぜひ
てことはz^∞=1を解けば円になるってコト⁉️
z^t＝1を解くと単位円上にt個の点ができるのでtをでかくすれば円のようにはなりますけど指数部分って自然数なので∞は代入できないと思いますね
考え方面白くて好き
円になるかもっていう直観はわかるけど複素関数の極限ってどうやって定義されるんだろ？🤔
厳密には円にならないみたいです
無限の種類が違うそうです
正無限角形は実は円ではないんです.
円は無数の角を含むが、無数無限の角を含む円は存在しない。。。のですか？無限の種類が違う、次元が違ってくる？… とても興味深いです！
複素平面を利用するなら、全ての方程式は「(z+a+bi)^n=r^n(a、b、rは実数)」にできるんだろうか、理論上？
前置きはいいよ👌
これからは文系も複素数平面やるもんなぁ
正n角形というより，e^(iθ)の回転で説明したほうが良い気がします．
数学IIIの導入,となりますからいきなりここでeも出してしまうと混乱するかも,という意図かもです
数３なのか！和と差の積。解の公式。5乗7乗 気合か！ スーと分かるセンス。正五角形から遣ると面白い。11角形や17角形も良いね。
幾何的に求めにくい解を共役複素数の性質を利用して解くことはできるでしょうか？
結局R^2が複素数の本質だとな.
ゼミっぽい授業もやってほしい
滑らかな、とてもりっぱな授業だと思いました。岩波新書の、遠山先生でしたかの書かれた、上下2冊に分かれた本では、かけ算は回し伸ばしという視点から動的に説明されていました。
zの8乗を4乗に分ける式
zの4乗を2乗に分ける式
you wrong six hexagon that is into one hexagon.
答え x=1. x=-1. (虚数は除く)
ん？気合いでいくなら4乗のとこでフェラーリでしょ🙃
z^8=1のかいとして±√i,±√-iは正しいでしょうか虚数に√はとれないんでしょうか
√iという数をa+biの形で書いたものが(√2+√2i)/2となります。
単純に√iという数(記法)が定義されているかは申し訳ありませんが数学素人ですので分かりません。
@@you-cd9xk
iの定義がi=√-1 なので√iは二重根号なんじゃないですかね、、、
@@aagttt8259 この場合は、複素数を求めるもんだいで√iなどはa+biの形になっていないので解ではないと言うことができます
初歩であり根本の基本的な疑問を解決できて嬉しいです。ありがとうございます。
この方程式は、もともと、5次方程式に、一般解があるか否かという問題の思考過程で出てくるものだと思うのですが、そのこと(本来、方程式の問題であること)は、授業の中で、明示しなくていいのでしょうか？
複素平面とやらを習わない世代🙋♂️
答え 1
サムネの但し書きに絶望して無事死亡。ちーん。
円分方程式ですね～
それはそうと目の下のクマが気になります、お休みとれてますか？
複素数平面というのは数直線の拡張だというお話から始めて欲しい
座標って言われると必然性が見えない
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4乗とは、６乗とは、８乗とはまで解説が欲しかったなあ。
z^8=1のかいとして±√i,±√-iは正しいでしょうか虚数に√はとれないんでしょうか
正の実数aに対して√aは「aの2つの平方根のうち正のもの」と定義されますが、√iとするとこれがiの2つの平方根うちどちらを指すのか分かりません
答え 1と−1